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等体积法:顾名思义，就是利用几何的等体积来解决几何的体积、点到平面的距离等问题。纵观近几年的高考题，我们不难发现立体几何题，经常考查点到面的距离的计算和几何的体积。学生往往因为空之间想象力薄弱而无法继续解题，不容易直接找到几何的高线(点到平面的距离)。而且有时候做辅助线也不容易算出结果。这时候如果能想到等体积法，就能感受到“另一个村庄”的感觉。下面以2019年全国I卷第19题为例，感受一下应用等体积法带来的好处。
高考试题
【2019全国I卷19】，是一个方棱镜。
的底部是一个菱形。
,
,
,
，分别为
的中点。
(1)证明:
飞机
；
(2)求平面上的点C
距离。
问题解决策略
本题考查立体几何相关问题，涉及直线与平面平行度的确定，点到平面距离的求解。在解题过程中，要注意记忆线面平行性判定定理的内容，注意寻找平行线的思路。而且用等积法求点到平面的距离是文科生的常见考题。
问题解决过程
问题解决分析
(1)使用三角形中线之和
,
，可以证明
,
，证明四边形。
它是一个平行四边形，然后证明
根据线面平行判断定理，可以证明结论；
(2)根据题意得出三棱锥。
卷，然后找出。
的面积，使用
找到平面的c点
距离，得出结果。
扩大和普及
1.求几何体积的等体积法。
(1)相同几何形状的等体积转换
等体积法一般用于三棱锥，如果需要三棱锥的话
但是求A点到平面BCD的距离并不容易，也就是找不到三棱锥的高度。如果B点到平面ACD的距离很容易找到，我们可以用它。
解决它。
在求解三棱锥或四面体的体积时，要注意图形中直线与平面是否垂直。我们要尽量找到原几何体的表面作为底面，然后找到底面上的高度，用等体积法计算几何体的体积。
(2)不同几何形状的等体积转换
等体积法也可以用在不同的几何中用等面积、等高来计算几何的体积，即只要判断两个三棱锥的底和高相等，就可以用等体积法来计算体积。
在计算三棱锥的体积时，如果三棱锥底上的高度不好找，往往用换顶点，用等体积法来解决，有时可以把三棱柱分成三个体积相等的三棱锥，或者平行线和同一平面上的点之间的距离可以相等，或者用三角形相似的对应边按比例计算对应底上的高度，求几何体的体积。
2.求点到平面距离的等体积法。
在空之间求几何中点到平面的距离时，往往很难作出一条垂直线段，即使作出了辅助线，也很难由已知条件计算出其长度。这时，我们往往选择等体积法来求解点到平面的距离。比如三棱锥A-BCD中顶点A到底BCD的距离d很难求，顶点B到平面ACD的距离h很容易求，我们可以用等体积法。
，即
求解。
用等体积法计算点到平面的距离时，首先要选择几何体的顶点和底面，并尽可能将其转换为原几何体的曲面作为底面，以便于计算。然后，结合我们所学的知识，可以计算出底面的面积，利用三棱锥的体积公式计算出点到平面的距离。
3.求直线与平面夹角的等体积法。
对角线与平面所成的角是由对角线和对角线在平面上的投影组成的图形，而对角线在平面上的投影又与平面的垂直线密切相关，所以常用对角线线段、垂直线线段和对角线线段在平面上的投影组成的直角三角形来解角。
因此，在解题时，可以考虑用“等体积法”求点与平面的距离(即垂直线段的长度)，再利用直角三角形中的正弦关系，求出直线与平面夹角的正弦值，从而避免了求投影和确定直线与平面夹角的麻烦。
4.用等体积法求二面角的平面角。
“三垂线法”常用于求二面角的平面角。点与平面的距离可用“等体积法”求得。结合平面外一点到二面角边缘的距离，利用直角三角形的角关系，可以得到二面角的平面角的正弦值。
变体训练1
变体训练2
变体训练3
变体训练4
变体训练5
正三棱锥的高度为1，底面的边长为。
正三棱锥中有一个球与它的四个面相切，求这个球的表面积和体积。
